Análisis de simetrías en el arte geométrico de las culturas

by billyr ~ julio 26th, 2014. Filed under: * Recomendados !!, Simetrías en el arte.

F11 – Full screen
Versión del 2-Jun-2011

Justificación

Sería pues ilusorio imaginarse, como tantos etnólogos e historiadores del arte siguen haciéndolo todavía hoy, que una máscara y, de manera más general, una escultura o un cuadro, pueden interpretarse cada cual por su cuenta, por lo que representan o por el uso estético o ritual al cual se destinan. Hemos visto que, por el contrario, una máscara no existe en sí; supone, siempre presentes a sus lados, otras máscaras reales o posibles que habrían podido ser escogidas para ponerlas en su lugar. Discutiendo un problema particular, esperamos haber demostrado que una máscara no es ante todo lo que representa sino lo que transforma, es decir elige no representar. Igual que un mito, una máscara niega tanto como afirma; no está hecha solamente de lo que dice o cree decir, sino de lo que excluye.

Lévi-Strauss, La vía de las máscaras.

La mayor parte de las descripciones de diseños simétricos en la literatura etnográfica y arqueológica es algo peor que simplemente inapropiada desde el punto de vista geométrico y algebraico. Según toda evidencia, nuestros especialistas carecen de un léxico para llamar a las estructuras simétricas por su nombre, o por algunos de los múltiples nombres que se han consensuado; por ende, es imposible saber qué estructuras o transformaciones específicas se manifiestan en qué culturas, regiones o períodos de la (pre)historia. Desde sus orígenes, las disciplinas antropológicas han explotado la noción de estilo, pero no la han articulado de una manera útil y sistemática(1).

Lo triste del caso es que existe una profusa producción sobre la notación y nomenclatura de patrones simétricos en otras disciplinas; pero aunque pueden encontrarse algunos precedentes dignos en estudios culturalmente sensitivos de esta problemática, es sólo a partir de los trabajos de Dorothy Washburn, Donald Crowe y sus colaboradores en la Universidad de Washington en Seattle a fines de la década de 1980 que el análisis de la simetría llegó a nuestras disciplinas elaborado en forma científicamente aceptable(2).

Sobre la base de esas propuestas, a través de esta página se podrá implementar el análisis descriptivo, nomenclatorio y comparativo de diseños simétricos en objetos culturales. Para ello suministro un conjunto de documentos, planillas y programas, así como el mayor muestrario de ejemplos disponible en la Web.

Este análisis permitirá asignar diseños en hilera, en superficie o en roseta a cada una de las clases existentes. El hecho es que para hileras y superficies en un solo color contrastante existen sólo siete y diecisiete clases respectivamente. La clasificación es esencial para comprender la distribución de los procesos de transformación geométricos a través de las sociedades; esta distribución se basa en unos pocos elementos de juicio que son universales por definición, pero aparece de maneras específicas en distintas culturas. Todavía está faltando un mapa que establezca en qué regiones del mundo o en qué períodos históricos se favorecen o se reprimen cuáles principios constructivos de la representación.

El problema radica en que no está claro ni siquiera el vocabulario descriptivo a utilizar. Investigadores que dedican su vida al estudio de cerámicas con motivos geométricos, a la cestería o a los motivos ornamentales de los textiles no han documentado tener familiaridad con las sistematizaciones de las formas estructurales conceptualizadas en diversas disciplinas, desde las matemáticas hasta la cristalografía. Esta carencia es sin embargo justificable: no parece fácil, de cara a los artefactos, llegar trivialmente ni siquiera a la etapa nomenclatoria, no digamos ya a la visión comparativa. Hay algunos programas de computadora que realizan el análisis, pero su gestión es tan difícil como la de los rudimentos geométricos involucrados. Todos ellos presuponen que uno ya domina la cuestión.

Mi convicción es que antes de aspirar a alguna clase de síntesis es preciso aprender a analizar. En casos no necesariamente extremos es preciso incluso vencer las resistencias que inhiben ese aprendizaje, las cuales alimentan el supuesto de que los antropólogos tienen ya de fábrica las habilidades que es menester dominar para alcanzar esos objetivos.

Aunque el proceso clasificatorio se puede simplificar mediante diagramas de flujo, lo cierto es que nuestros profesionales han experimentado dificultades a la hora de realizar manualmente esa tarea. Consecuentemente, las descripciones a las que ellos se resignan, Lévi-Strauss inclusive (“motivos en greca”, “estilos geométricos”, “entrelazados”, “hilera de triángulos”, “líneas en zig-zag”, “enantiomorfos”, “diseños binarios”, “desdoblamiento de la representación”, “iteraciones”, “simetrías bilaterales”, “geometrismos”, “sucesiones de escalonados”, etc), no permiten inducir las concepciones geométricas emic que generaron los diseños, ni comprender la posible equivalencia estructural entre piezas que lucen diferentes a primera vista, ni sistematizar qué grupos de transformación se encuentran (o cuáles están faltando) en qué contextos concretos de tiempo, cultura y lugar.

Por esa razón he confeccionado unas planillas que sirven para asignar con relativa facilidad los diseños a sus correspondientes clases y para organizar la estadística y las tablas de las distribuciones dentro de las culturas o a través de ellas. Cabe esperar que en diversas sociedades las proporciones en que aparecen los distintos tipos sea diferencial, o que algunos tipos (uno o dos, quizá más) no se manifiesten en absoluto.

Además de ser operativas en el sentido de permitir la implementación de funciones analíticas y estadísticas inherentes al software de spreadsheet, las planillas pueden servir (con algo de coloración y formateo de por medio) para la presentación de resultados en monografías, tesis y ponencias. El límite de las operaciones analíticas posibles, desde la suma de operaciones simétricas por región hasta la minería de datos multidimensional, estará dado de ahora en más por el ingenio del usuario para aprovechar las capacidades de estas planillas de cálculo (o de las piezas de software que acepten importar valores separados por comas, tabulación o lo que fuere).

En nuestra analítica sólo se tendrán en cuenta las transformaciones isométricas, vale decir, las que pertenecen a uno de los cuatro movimientos básicos: espejado (en una línea del plano), traslación, rotación (sobre un punto en el plano) y espejado con deslizamiento (glide reflection). El concepto de simetría que aquí se desenvuelve es entonces más amplio que el significado atribuido popularmente a la palabra, el cual por lo común se restringe al espejado. Aún así, las transformaciones isométricas no cubren todo el campo; aparte de ellas existen otras más que no habrá oportunidad de examinar aquí(3).

Aunque mi propósito de máxima es cubrir cualquier estructuración geométrica, por el momento se consideran aquí sólo los diseños periódicos en hilera de uno y dos colores y las simetrías periódicas en superficies en un color. Para 3 colores habría 23 patrones posibles, pero sólo hay ejemplo de 12 de ellos en la literatura. Para 4 colores, Wieting (1982) ha sistematizado 96 clases, pero éstas son todavía más raras en las representaciones culturales. Recientemente el campo se ha modificado de manera dramática tras el Premio Nóbel 2011 concedido a Dan Shechtman por sus trabajos sobre los cuasicristales, pero en materia de simetrías periódicas lo anterior todavía se mantiene.

En todas partes prevalece una especie de Ley de Zipf, la cual sin duda tiene que ver con constreñimientos universales de la cognición: las formas de expresión verdaderamente existentes no son (no pueden ser) tan complicadas. Aunque la diversidad parezca ser infinita y aunque aquí y allá existan estilos y ejemplares que se salen de la norma, el hecho es que todas las culturas fatigan una y otra vez un número ridículamente pequeño de formas lógica y materialmente posibles(4).

Cada movimiento rígido en el plano pertenece a uno de los cuatro movimientos básicos. Se dice que un patrón es simétrico si admite una o más de las cuatro isometrías del plano. Lo único que se requiere para analizar los patrones es desplegar un procedimiento mínimo a fin de reconocer cada uno de ellos y tomar nota de su ocurrencia (o su no-ocurrencia) en un estilo determinado (Washburn y Crowe 1988: 44). En la práctica, sólo interesan los patrones repetitivos, vale decir aquellos en los que se manifiesta simetría de traslación; un círculo o un cuadrado son figuras simétricas, pero no patrones a los que se puede aplicar esta analítica(5).

Hay que insistir en que aun cuando las operaciones básicas lucen elementales, el análisis de las simetrías no siempre es fácil. Dado que cada isometría se compone de uno, dos o tres espejados, es evidente que la composición de dos espejados es una traslación (si las líneas de espejado son paralelas) o una rotación (sobre su punto de intersección, si es que las dos líneas se intersectan), mientras que la composición de tres espejados es ya sea un espejado o un espejado con deslizamiento. Todos estos hechos complican la prueba. La complican bastante.

La siguiente planilla puede usarse entonces para asignar nomenclatura a los diseños simétricos antedichos. He sincronizado todas las nomenclaturas importantes, comenzando a detallar cuáles son las transformaciones que llevan a ellas; el investigador podrá optar por metodologías más formales o por los engañosamente simples hops y jumps de Conway, según le resulte más sencillo. Los resultados han de ser convergentes.

En revisiones futuras se agregarán dibujos ilustrativos y enlaces de hipertexto a las galerías fotográficas de simetrías de cada tipo. Las nomenclaturas que valgan la pena serán explicadas hasta las últimas consecuencias, a fin de que pueda apreciarse la diferencia que media entre una genuina metodología analítica y una concepción discursiva de estilo y diseño. El objetivo de esta página es que se pueda llevar adelante la analítica con un máximo de simplicidad, plena comprensión y capacidad operativa.

Ver páginas de galerías: p111p1a1p1m1pm11p112pma2pmm2.

Programas:

Bajar planilla (actualizada el 24-1-09): Planilla para analizar y clasificar diseños geométricos repetitivos o en simetría (xls) (1707) - 657 kB (formato Microsoft® Excel™)

Hay otros programas de análisis que se pueden probar ejecutándolos directamente desde esta página:

Con Symmetry of Frieze Patterns, de Jan Abas y Gareth Evans (School of Informatics, University of Wales, Bangor, UK) es posible diseñar frisos simétricos y determinar sus clases partiendo de sus elementos generadores. Esta es la clase de programas que permite establecer con mayor facilidad cuál es la clase de guarda simétrica que se tiene entre manos; por desdicha se limita a patrones en guarda. Se requiere Shockwave Flash.

Para analizar simetrías en planos (wallpapers) se puede ejecutar Escher Web Sketch (requiere Java).

El programa más simple para diseñar (y analizar) simetrías es probablemente Kali.

Con Taprats (© 2001 Craig Kaplan) se pueden modelar complejas simetrías islámicas en estrella: Ejecutar programa (requiere Java).

Un programa más elaborado para diseño simétrico avanzado es Arabeske 2.1.1 (también requiere Java).

En este enlace se presenta un programa especial que ejecuta patrones de Guilloché similares a los de los billetes bancarios. Otra aplicación afín, que refleja las simetrías en la armonía musical es Harmonograph. Imagino que se necesita instalar alguna herramienta de Flash. El portal de donde proceden estos programas incluye algunos otros igualmente refinados (© subblue, 2008).

Otros programas de análisis y síntesis de simetrías han sido inventariados en la planilla incluida en este enlace: Planilla de punteros a software de complejidad, fractales, caos y redes sociales (3599) - 2.38 MB

En el vínculo siguiente se pueden ejecutar modelos de diseño de peinados africanos simétricos programados por Ron Eglash; se recomienda probar la opción Cornrow Curves > Math Software:

http://www.ccd.rpi.edu/Eglash/csdt/index.html

Hay un número infinito de referencias a instrumentos y papers en el website de Visual Mathematics:

http://vismath.tripod.com/

Simetrías en el arte islámico:
http://patterninislamicart.com/
Base de datos de embaldosados simétricos:
http://www.tilingsearch.org/index1.htm
Artículo de Wikipedia sobre los cuasicristales:

http://en.wikipedia.org/wiki/Quasicrystal

Tony Phillips (Stony Brook University), “Inside-out Frieze Symmetries in Ancient Peruvian Weavings”:
http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-weaving

Con la posible excepción de Analysis of Frieze Patterns, el uso de los programas disponibles en el dominio público para síntesis y análisis de simetrías (Tess de Pedagoguery, Escher Web Scketch, Arabeske, Group Explorer, incluso Kali) es, para antropólogos y arqueólogos, una ciencia oscura. En futuras revisiones de esta página se irán agregando lineamientos que permitirán explotar las capacidades del software existente en la investigación científica.

A continuación se exponen los punteros a las diferentes clases de patrones simétricos, comenzando por las siete simetrías de guardas, hileras o frisos.

Ver páginas de galerías: p111p1a1p1m1pm11p112pma2pmm2.

Más adelante se incluirán los módulos correspondientes a simetrías de superficies y rosetas.

Referencias bibliográficas:

Abas, S. Jan (2001). “Islamic geometrical patterns for the teaching of mathematics of symmetry” [Special issue of Symmetry: Culture and Science]. Symmetry in Ethnomathematics, 12(1-2): 53-65. http://cmcuworkshops.net/wordpress/wp-content/uploads/isl-geo-patterns-for-teaching-symmetry.pdf.

Abas, Syed Jan y Amer Shaker Salman. 2007 [1995]. Symmetries of Islamic geometrical patterns. Singapur, World Scientific Publishing.

Bérczi, Sz. 2000. “Katachi U Symmetry in the Ornamental Art of the Last Thousands Years of Eurasia“. FORMA, 15/1. 11-28. Tokyo.

Brainerd, George. 1942. “Symmetry in primitive conventional design”. American Antiquity, 8(2): 164-166.

Crowe, Donald. 2001. “Symmetries of culture”. Visual Mathematics, 3(2), http://archive.bridgesmathart.org/2001/bridges2001-1.pdf

Darvas, György. 2007. Symmetry. Cultural-historical and ontological aspects of science-arts relations. Basilea, Birkhäuser.

Fejes Tóth, L. 1964. Regular figures. Nueva York, MacMillan.

Horne, Clare. 2002. Geometric symmetry in patterns and tilings. Boca Raton, CRC Press.

Kapraff, Jay. Connections.  1991. The geometric bridge between art and science. 2a edición. Singapur, World Scientific. http://mimoza.marmara.edu.tr/~maeyler/CONNECTIONS.pdf.

Senechal, Marjorie. 1975. “Point groups and color symmetry”. Zeitschrift für Kristallographie 142: 1-23.

Shepard, Anna. 1948. The symmetry of abstract design with special reference to ceramic decoration. Contribution n.47, Carnegie Institution of Washington Publication n° 574.

Vianna, Marlos. 2008. Symmetry studies: An introduction to the study of structured data in applications. Cambridge, Cambridge University Press.

Washburn, Dorothy y Donald Crowe. 1988. Symmetries of culture: Theory and practice of plane pattern analysis. Seattle y Londres, University of Washington Press.

Washburn, Dorothy y Diane Humphrey. 2001. “Symmetries in the Mind: Production, Perception, and Preference for Seven One-Dimensional Patterns”. Visual Arts Research, 27(2): 57-68.

Wieting, Thomas. 1982. The mathematical theory of chromatic plane ornament. Nueva York, Marcel Dekker.

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Notas:

  1. Lo que propongo en estas páginas no es renunciar a esa noción, pero sí complementarla urgentemente por otras que han probado ser desde todo punto de vista mucho más instrumentales en la exploración de nuevos territorios []
  2. Precedentes notables son los de H. J. Woods y su escuela de la Universidad de Leeds, y luego los de Edith Mueller, George Brainerd, Anna Shepard, G. H. Knight, etc []
  3. Sobre estos grupos puede consultarse el libro de Slavik Jablan Symmetry and ornament, aquí disponible []
  4. Véase el paper fundacional de George Miller sobre “El mágico número siete, más o menos dos” y nuestras presentaciones sobre psicología y ciencia cognitiva en este mismo blogspot []
  5. Las figuras desdobladas que interesaban a Lévi-Strauss son por cierto simétricas, pero no son las que resultan mejor tratadas por esta analítica; apenas serían la base del patrón pm11 si aparecieran repetidas al menos una vez []

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5 Responses to Análisis de simetrías en el arte geométrico de las culturas

  1. Armando Contreras

    Hola, Prof. Reynoso: me parece que la coincidencia de la notación de Fejes Toth con las otras de su Tabla, no es correcta. Creo que la notación sería como sigue, donde cada paréntesis indica la notación de Fejes Toth, cristalográfica, cristalográfica resumida y de Conway u orbifold. Sólo que uso 0 en lugar del símbolo de infinito. (F1, p111, 11, 00) (F11, p1m1, 1m, 0*) (F12, pm11, m1, *00) (F13, p1a1, 1g, 0x) (F2, p112, 12, 220) (F21, pmm2, mm, *220) (F22, pma2, mg, 2*0).
    Por otra parte, lo felicito, pues su Tabla me parece excelente, pues resume las principales notaciones, algo que anduve buscando mucho en internet. Espero que próximamente pueda añadir usted las de rosetones y papel tapiz.
    Un saludo cordial.

  2. billyr

    Hola, Armando
    Ya he corregido la planilla y ambas versiones son ahora idénticas. Tal vez convenga llamar la atención respecto del hecho de que diversos órdenes de construcción de los isomorfismos pueden generar resultados diversos. Otros sitios de la web y otras fuentes documentales, en efecto, coinciden con la notación de mi planilla anterior (ver p.ej. http://usuarios.multimania.es/acericotri/notacion.htm).
    Como sea, me parece que después de unas cuantas revisiones ahora está todo bien.
    Trataré de completar las páginas de rosetones y tapicesa la brevedad. Le agradezco la observacion.
    Saludos,
    Carlos Reynoso

  3. Szaniszlo Berczi

    Dear Professor:
    Your homepage is beautiful and useful.

    However, may I note, that one publication is missing in your list, where you use images from. This is the following.

    Sz. Bérczi (2000): Katachi U Symmetry in the Ornamental Art of the Last Thousands Years of Eurasia. FORMA, 15/1. 11-28. Tokyo (ISSN 0911-6036)

    With best regards: Szaniszlo Berczi
    associate professor
    Eotvos University, Faculty of Science
    Institute of Physics, Dept. Materials Physics
    H-1117 Budapest, Pazmany P. s. 1/a.
    Hungary

  4. billyr

    Dear Prof. Berczi

    Thanks a lot for your comments. I’ll add the bibliographic reference as soon as possible. It’s an outstanding research paper on this topic.

    Best regards,

    Prof. Carlos Reynoso
    Universidad de Buenos Aires

  5. Szaniszlo Berczi

    Dear Prof. Reynoso

    Thank you very much.

    I propose to my students the using in learning your beautiful homepage.

    With best regards

    Szaniszlo Berczi
    Eotvos University, Budapest

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