Planilla de cálculo de caos y dinámica no lineal: Caos.XLS

by carlos ~ junio 29th, 2008. Filed under: Complejidad, Computación, Software.

 

F11 – Full screen

 

  • Modelo básico de dinámica no lineal
  • Modelo de ecuación logística basado en Verhulst & May
  • Camino hacia el caos con duplicación de período
  • Graficación de sensitividad a las condiciones iniciales
  • Graficación de atractores de punto fijo, atractores periódicos y atractores extraños
  • Ejecutar con A1 entre 0 y 1 y B1 entre 0 y 4
  • La columna C ilustra un caso de sensitividad a las condiciones iniciales.
  • Para lograr ese efecto, debe asignarse a C1 un valor similar pero no idéntico al de A1 – Un gráfico específico muestra la coincidencia de valores a largo plazo para el parámetro entre algo más de cero y algo más de 3,5 y la discrepancia de los valores sucesivos con el parámetro en rangos más altos.

En ciencias sociales prevalece un concepto de no linealidad decididamente extravagante. Incluso algunos pensadores ilustres, como Edgar Morin, sostiene que la no linealidad tiene que ver con circularidad lógica, bucles recursivos, causalidad circular y cosas por el estilo. Esta concepción equivocada, sin duda, revela una sensible falta de lecturas en todas las especialidades implicadas. Confunde además (como diría Gregory Bateson) un territorio con un mapa, una función matemática con una forma eventual de representación. Y lo más grave de todo, implica que las líneas curvas no son líneas y que “lineal” significa “recto”, además de ignorar que en topología todas las líneas (las rectas inclusive) son simplemente curvas.

En física y matemáticas, a todo esto, la idea de no linealidad no es ni geométrica ni topológica, sino que es claramente cuantitativa: se refiere a la desproporción entre cambios de los valores de parámetro y los valores correspondientes que asumen las variables. En un sistema no lineal una pequeña diferencia en el valor de un parámetro puede ocasionar una trayectoria por completo distinta. En escenarios caóticos esto hace que resulte formalmente imposible la predicción en el mediano y largo plazo.

Esta planilla ilustra, de manera simple y de una vez por todas, qué es eso del caos determinista, la ecuación logística, los caminos hacia el caos, el efecto de las alas de mariposa y todo cuanto es preciso saber para comprender los fundamentos mismos de la dinámica no lineal.

La base de todo ello es una simple función, de la que se descubrió hacia los años 70 que era no lineal. La ecuación es:

xt+1 = k * xt-1 (1 – xt-1)

donde x puede valer entre 0 y 1, y k entre 0 y 4. Si x denota una población, cuando x=0 la población  se ha extinguido; por el contrario, si x=1 puede decirse que la población se encuentra en el máximo valor posible que el ambiente puede sustentar logísticamente. Cuando k=0, eso significa que la tasa de crecimiento es nula; si k=4, a la inversa, todo el mundo se reproduce en el máximo del crecimiento posible. La paradoja del caso es que en las cercanías del régimen caótico, la población no se dispara “geométricamente” como se presuponía, sino que es su estabilidad lo que se desquicia.

Comprender la lógica subyacente a ecuaciones como ésta resulta esencial para entender desde el vamos la teoría de la bifurcación, la cual, a su turno, ha sido también bastardeada por más de un filósofo o científico social (comenzando por Félix Guattari). Pero esa es en realidad otra historia.

Se encontrará una descripción más desarrollada del funcionamiento de esta planilla en mi libro Complejidad y Caos: Una exploración antropológica (2006).


Modelos de simulación – teoría del caos – dinámica no lineal – nonlinear dynamics – Excel – planillas de cálculo – efecto mariposa – sensitividad a las condiciones iniciales – butterfly effect – MATLAB – Verhulst – matemáticas

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1 Response to Planilla de cálculo de caos y dinámica no lineal: Caos.XLS

  1. Alberto

    Muy buena tu planilla, gracias a esto puedo explicar de una manera más grafica esta tan aposionante teoria, muy bueno el aporte

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