Carlos Reynoso » Simetrías en el arte

Análisis de simetrías en el arte geométrico de las culturas

billyr — Wed, 05 Aug 2009 23:24:09 +0000

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Justificación

Sería pues ilusorio imaginarse, como tantos etnólogos e historiadores del arte siguen haciéndolo todavía hoy, que una máscara y, de manera más general, una escultura o un cuadro, pueden interpretarse cada cual por su cuenta, por lo que representan o por el uso estético o ritual al cual se destinan. Hemos visto que, por el contrario, una máscara no existe en sí; supone, siempre presentes a sus lados, otras máscaras reales o posibles que habrían podido ser escogidas para ponerlas en su lugar. Discutiendo un problema particular, esperamos haber demostrado que una máscara no es ante todo lo que representa sino lo que transforma, es decir elige no representar. Igual que un mito, una máscara niega tanto como afirma; no está hecha solamente de lo que dice o cree decir, sino de lo que excluye.

Lévi-Strauss, La vía de las máscaras.

La mayor parte de las descripciones de diseños simétricos en la literatura etnográfica y arqueológica es algo peor que simplemente inapropiada desde el punto de vista geométrico y algebraico. Según toda evidencia, nuestros especialistas carecen de un léxico para llamar a las estructuras simétricas por su nombre, o por algunos de los múltiples nombres que se han consensuado; por ende, es imposible saber qué estructuras específicas se manifiestan en qué culturas, regiones o períodos de la (pre)historia. Desde sus orígenes, las disciplinas antropológicas han explotado la noción de estilo, pero no la han articulado de una manera útil y sistemática¹.

Lo triste del caso es que existe una profusa producción sobre la notación y nomenclatura de patrones simétricos en otras disciplinas; pero aunque pueden encontrarse algunos precedentes dignos en los estudios culturales de la problemática, es sólo a partir de los trabajos de Dorothy Washburn, Donald Crowe y sus colaboradores en la Universidad de Washington en Seattle a fines de la década de 1980 que el análisis de la simetría llegó a nuestras disciplinas elaborado en forma científicamente aceptable².

Sobre la base de esas propuestas, a través de esta página se podrá implementar el análisis descriptivo, nomenclatorio y comparativo de diseños simétricos en objetos culturales. Para ello suministro un conjunto de documentos, planillas y programas, así como el mayor muestrario de ejemplos disponible en la Web.

Este análisis permitirá asignar diseños en hilera, en superficie o en roseta a cada una de las clases existentes. El hecho es que para hileras y superficies en un solo color contrastante existen sólo siete y diecisiete clases respectivamente. La clasificación es esencial para comprender la distribución de los procesos de transformación geométricos a través de las culturas; esta distribución se basa en unos pocos elementos de juicio que son universales por definición, pero aparece de maneras específicas en distintas culturas. Todavía está faltando un mapa que establezca en qué regiones del mundo o en qué períodos históricos se favorecen o se reprimen cuáles principios constructivos de la representación.

El problema radica en que no está claro ni siquiera el vocabulario descriptivo a utilizar. Investigadores que dedican su vida al estudio de cerámicas con motivos geométricos, a la cestería o a los motivos ornamentales de los textiles no han documentado tener familiaridad con las sistematizaciones de las formas estructurales conceptualizadas en diversas disciplinas, desde las matemáticas hasta la cristalografía. Esta carencia es sin embargo justificable: no parece fácil, de cara a los artefactos, llegar trivialmente ni siquiera a la etapa nomenclatoria, no digamos ya a la visión comparativa. Hay algunos programas de computadora que realizan el análisis, pero su gestión es tan difícil como la de los rudimentos geométricos involucrados. Todos ellos presuponen que uno ya domina la cuestión.

Mi convicción es que antes de aspirar a alguna clase de síntesis es preciso aprender a analizar. En casos no necesariamente extremos es preciso incluso vencer las resistencias que inhiben ese aprendizaje, las cuales alimentan el supuesto de que los antropólogos tienen ya de fábrica las habilidades que es menester dominar para alcanzar esos objetivos.

Aunque el proceso clasificatorio se puede simplificar mediante diagramas de flujo, lo cierto es que nuestros profesionales han experimentado dificultades a la hora de realizar manualmente esa tarea. Consecuentemente, las descripciones a las que ellos se resignan, Lévi-Strauss inclusive (“motivos en greca”, “estilos geométricos”, “entrelazados”, “hilera de triángulos”, “líneas en zig-zag”, “enantiomorfos”, “diseños binarios”, “desdoblamiento de la representación”, “iteraciones”, “simetrías bilaterales”, “geometrismos”, “sucesiones de escalonados”, etc), no permiten inducir las concepciones geométricas emic que generaron los diseños, ni comprender la posible equivalencia estructural entre piezas que lucen diferentes a primera vista, ni sistematizar qué grupos de transformación se encuentran (o cuáles están faltando) en qué contextos concretos de tiempo, cultura y lugar.

Por esa razón he confeccionado unas planillas que sirven para asignar con relativa facilidad los diseños a sus correspondientes clases y para organizar la estadística y las tablas de las distribuciones dentro de las culturas o a través de ellas. Cabe esperar que en diversas sociedades las proporciones en que aparecen los distintos tipos sea diferencial, o que algunos tipos (uno o dos, quizá más) no se manifiesten en absoluto.

Además de ser operativas en el sentido de permitir la implementación de funciones analíticas y estadísticas inherentes al software de spreadsheet, las planillas pueden servir (con algo de coloración y formateo de por medio) para la presentación de resultados en monografías, tesis y ponencias. El límite de las operaciones analíticas posibles, desde la suma de operaciones simétricas por región hasta la minería de datos multidimensional, estará dado de ahora en más por el ingenio del usuario para aprovechar las capacidades de estas planillas de cálculo (o de las piezas de software que acepten importar valores separados por comas, tabulación o lo que fuere).

En nuestra analítica sólo se tendrán en cuenta las transformaciones isométricas, vale decir, las que pertenecen a uno de los cuatro movimientos básicos: espejado (en una línea del plano), traslación, rotación (sobre un punto en el plano) y espejado con deslizamiento (glide reflection). El concepto de simetría que aquí se desenvuelve es entonces más amplio que el significado atribuido popularmente a la palabra, el cual por lo común se restringe al espejado. Aún así, las transformaciones isométricas no cubren todo el campo; aparte de ellas existen otras más que no habrá oportunidad de examinar aquí³.

Aunque mi propósito de máxima es cubrir cualquier estructuración geométrica, por el momento se consideran aquí sólo los diseños en hilera de uno y dos colores y las simetrías en superficies en un color. Para 3 colores habría 23 patrones posibles, pero sólo hay ejemplo de 12 de ellos en la literatura. Para 4 colores, Wieting (1982) ha sistematizado 96 clases, pero éstas son todavía más raras en las representaciones culturales.

En todas partes prevalece una especie de Ley de Zipf, la cual sin duda tiene que ver con constreñimientos universales de la cognición: las formas de expresión verdaderamente existentes no son (no pueden ser) tan complicadas. Aunque la diversidad parezca ser infinita y aunque aquí y allá existan estilos y ejemplares que se salen de la norma, el hecho es que todas las culturas fatigan una y otra vez un número ridículamente pequeño de formas lógica y materialmente posibles⁴.

Cada movimiento rígido en el plano pertenece a uno de los cuatro movimientos básicos. Se dice que un patrón es simétrico si admite una o más de las cuatro isometrías del plano. Lo único que se requiere para analizar los patrones es desplegar un procedimiento mínimo a fin de reconocer cada uno de ellos y tomar nota de su ocurrencia (o su no-ocurrencia) en un estilo determinado (Washburn y Crowe 1988: 44). En la práctica, sólo interesan los patrones repetitivos, vale decir aquellos en los que se manifiesta simetría de traslación; un círculo o un cuadrado son figuras simétricas, pero no patrones a los que se puede aplicar esta analítica⁵.

Hay que insistir en que aun cuando las operaciones básicas lucen elementales, el análisis de las simetrías no siempre es fácil. Dado que cada isometría se compone de uno, dos o tres espejados, es evidente que la composición de dos espejados es una traslación (si las líneas de espejado son paralelas) o una rotación (sobre su punto de intersección, si es que las dos líneas se intersectan), mientras que la composición de tres espejados es ya sea un espejado o un espejado con deslizamiento. Todos estos hechos complican la prueba. La complican bastante.

La siguiente planilla puede usarse entonces para asignar nomenclatura a los diseños simétricos antedichos. He sincronizado todas las nomenclaturas importantes, comenzando a detallar cuáles son las transformaciones que llevan a ellas; el investigador podrá optar por metodologías más formales o por los engañosamente simples hops y jumps de Conway, según le resulte más sencillo. Los resultados han de ser convergentes.

En revisiones futuras se agregarán dibujos ilustrativos y enlaces de hipertexto a las galerías fotográficas de simetrías de cada tipo. Las nomenclaturas que valgan la pena serán explicadas hasta las últimas consecuencias, a fin de que pueda apreciarse la diferencia que media entre una genuina metodología analítica y una concepción discursiva de estilo y diseño. El objetivo de esta página es que se pueda llevar adelante la analítica con un máximo de simplicidad, plena comprensión e inédita capacidad operativa.

Programas:

Bajar planilla (actualizada el 24-1-09): Planilla para analizar y clasificar diseños geométricos repetitivos o en simetría (xls) (411) - 657 kB (formato Microsoft® Excel™)

Hay otros programas de análisis que pueden probarse ejecutándolos directamente desde esta página:

Con Symmetry of Frieze Patterns, de Jan Abas y Gareth Evans (School of Informatics, University of Wales, Bangor, UK) es posible diseñar frisos simétricos y determinar sus clases partiendo de sus elementos generadores. Esta es la clase de programas que permite establecer con mayor facilidad cuál es la clase de guarda simétrica que se tiene entre manos; por desdicha se limita a patrones en guarda. Se requiere Shockwave Flash.

Para analizar simetrías en planos (wallpapers) se puede ejecutar Escher Web Sketch (requiere Java).

Un programa más elaborado para diseño simétrico avanzado es Arabeske 2.1.1 (también requiere Java).

Otros programas de análisis y síntesis de simetrías han sido inventariados en la planilla incluida en este enlace: Planilla de punteros a software de complejidad, fractales, caos y redes sociales (1188) - 2.38 MB

Hay un número infinito de referencias a instrumentos y papers en el website de Visual Mathematics, en http://www.mi.sanu.ac.rs/vismath/pap.htm

Con la posible excepción de Analysis of Frieze Patterns, el uso de los programas disponibles en el dominio público para síntesis y análisis de simetrías (Tess de Pedagoguery, Escher Web Scketch, Arabeske, Group Explorer, incluso Kali) es, para antropólogos y arqueólogos, una ciencia oscura. En futuras revisiones de esta página se irán agregando lineamientos que permitirán explotar las capacidades del software existente en la investigación científica.

A continuación se exponen los punteros a las diferentes clases de patrones simétricos, comenzando por las siete simetrías de guardas, hileras o frisos.

	Ver páginas de galerías: p111 – p1a1 – p1m1 – pm11 – p112 – pma2 – pmm2.

Más adelante se incluirán los módulos correspondientes a simetrías de superficies y rosetas.

Referencias bibliográficas:

Bérczi, Sz. 2000. “Katachi U Symmetry in the Ornamental Art of the Last Thousands Years of Eurasia”. FORMA, 15/1. 11-28. Tokyo (ISSN 0911-6036).

Brainerd, George. 1942. “Symmetry in primitive conventional design”. American Antiquity, 8(2): 164-166.

Fejes Tóth, L. 1964. Regular figures. Nueva York, MacMillan.

Horne, Clare. 2002. Geometric symmetry in patterns and tilings. Boca Raton, CRC Press.

Senechal, Marjorie. 1975. “Point groups and color symmetry”. Zeitschrift für Kristallographie 142: 1-23.

Shepard, Anna. 1948. The symmetry of abstract design with special reference to ceramic decoration. Contribution n.47, Carnegie Institution of Washington Publication n° 574.

Vianna, Marlos. 2008. Symmetry studies: An introduction to the study of structured data in applications. Cambridge, Cambridge University Press.

Washburn, Dorothy y Donald Crowe. 1988. Symmetries of culture: Theory and practice of plane pattern analysis. Seattle y Londres, University of Washington Press.

Wieting, Thomas. 1982. The mathematical theory of chromatic plane ornament. Nueva York, Marcel Dekker.

Diseño artístico – Geometría fractal – Simetrías – Fejes Toth – cristalografía – frieze patterns – Symmetry

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Notas:

Lo que propongo en estas páginas no es renunciar a esa noción, pero sí complementarla urgentemente por otras que han probado ser desde todo punto de vista mucho más instrumentales en la exploración de nuevos territorios
Precedentes notables son los de H. J. Woods y su escuela de la Universidad de Leeds, y luego los de Edith Mueller, George Brainerd, Anna Shepard, G. H. Knight, etc
Sobre estos grupos puede consultarse el libro de Slavik Jablan Symmetry and ornament, aquí disponible
Véase el paper fundacional de George Miller sobre “El mágico número siete, más o menos dos” y nuestras presentaciones sobre psicología y ciencia cognitiva en este mismo blogspot
Las figuras desdobladas que interesaban a Lévi-Strauss son por cierto simétricas, pero no son las que resultan mejor tratadas por esta analítica; apenas serían la base del patrón pm11 si aparecieran repetidas al menos una vez

Simetrías – Hileras – p111 (hop)

billyr — Fri, 07 Nov 2008 22:54:37 +0000

F11 – Full screen

Si la historia, invocada sin descanso (y que debemos invocar primero) responde que no, volvámonos hacia la psicología o el análisis estructural de las formas, y preguntémonos si condiciones internas, de naturaleza psicológica o lógica, no permiten acaso comprender recurrencias simultáneas que tienen lugar con una coherencia y cohesión que no pueden resultar del libre juego de las probabilidades.

Claude Lévi-Strauss, “El desdoblamiento de la representación en el arte de Asia y América”, 1944-45.

Patrones en hilera

A diferencia de lo que es práctica usual en nuestras disciplinas, en la caracterización que sigue los términos descriptivos de “patrón” (o “clase”), “motivo”, “componente”, “movimiento” y “simetría” se emplean de forma consistente, cada cual con su significación específica. Un patrón está formado por motivos, los cuales sufren alguno o algunos de los cuatro movimientos constitutivos de la simetría (traslación, rotación, espejado, espejado con deslizamiento). Cada motivo está constituido por uno o más elementos (que pueden exhibir o no simetría).

p111

Patrón p111 - Hacer click para ver animación de movimientos

Es el patrón más básico de todos, pues incorpora sólo el movimiento de traslación, que se percibe como repetición del motivo generador. Si llamamos básico a este patrón es porque todos los demás patrones incluyen necesariamente ese movimiento.

En cuanto al nombre de este patrón, en la nomenclatura cristalográfica que he seguido en estas páginas se utiliza una notación de cuatro símbolos, denotados pxyz.

Todos los patrones comienzan con “p”.

Si hay espejado vertical, x es “m” (por mirror); si no lo hay, es “1″.
Si hay espejado horizontal, y es “m”; si hay espejado con deslizamiento (pero no horizontal), y es “a”; en otros casos es “1″.
Si hay medio giro, z es “2″; de otro modo es “1″. De ahí lo de p111.

En la nomenclatura de Marjorie Senechal para hileras de un color, el primer símbolo es “m” si hay espejado vertical y “1″ si no lo hay. El segundo símbolo es “m” si hay espejado horizontal, “g” si hay espejado con deslizamiento (glide reflection), “2″ si hay medio giro (pero no glide) y “1″ en los demás casos.

Esta simetría es por ende, “11″ en esta nomenclatura. Es además “hop”, ^^ o ∞∞ en la notación de orbifold propuesta por Conway, F₁ en la de Féjes Toth, r1 en la de Getz y “T” en la de George Pólya.

El número mínimo de motivos requeridos para que se pueda hablar de una simetría en hilera (este patrón incluido) es naturalmente dos. Cada motivo ha de ser asimétrico, dado que si tuviera alguna clase de simetría (tal como espejado o medios giros) el patrón ya no sería p111. Sin embargo, igual que sucede en todo tipo de patrones, un motivo está usualmente formado por componentes que sí pueden exhibir alguna forma particular de simetría, como en la figura 4.31 de Washburn-Crowe, p. 95.

La siguiente galería expone algunas instancias históricas, arqueológicas o contemporáneas de este patrón. Se puede activar haciendo click en una foto, o utilizando el botón derecho del ratón para ampliar, guardar o ver en alta definición¹.

	→ Volver a página de simetrías. → Ver también las páginas de galerías: p1a1 – p1m1 – pm11 – p112 – pma2 – pmm2.

Referencias bibliográficas:

Bérczi, Sz. 2000. “Katachi U Symmetry in the Ornamental Art of the Last Thousands Years of Eurasia”. FORMA, 15/1. 11-28. Tokyo (ISSN 0911-6036).

Brainerd, George. 1942. “Symmetry in primitive conventional design”. American Antiquity, 8(2): 164-166.

Crowe, Donald. 2001. “Symmetries of culture”. Visual Mathematics, 3(2), http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/crowe1/index.html

Fejes Tóth, L. 1964. Regular figures. Nueva York, MacMillan.

Fiadone, Alejandro Eduardo. 2003. El diseño indígena argentino: Una aproximación estética a la iconografía precolombina. Buenos Aires, La Marca Editora.

Gerdes, Paulus. 2008. Mwani color inversion, symmetry and cycle matrices. Visual Mathematics, http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/gerdesmwani/mwani.htm

Horne, Clare. 2002. Geometric symmetry in patterns and tilings. Boca Raton, CRC Press.

Jablan, Slavik. 1995. Theory of symmetry and ornament. Belgrado, Instituto de Matemáticas.

Lekka, Lila y Sofia Dascalopoulos. 2008. “Motifs and symmetry characteristics of the ornamentation on traditional Greek woven textiles from the area of the Aegean”. Fibres & Textiles in Eastern Europe, 16(3): 74-78.

Montes, Ana Elsa. 1998. “Diseños de la cultura La Aguada”. En: Alberto Rex González, Cultura La Aguada: Arqueología y diseños. Buenos Aires, Filmediciones Valero.

Phillips, Tony. 2008. “Inside-out frieze symmetries in ancient peruvian weaving”. American Mathematical Society, Feature Column, https://jpbm.org/featurecolumn/archive/weaving.html

Senechal, Marjorie. 1975. “Point groups and color symmetry”. Zeitschrift für Kristallographie 142: 1-23.

Shepard, Anna. 1948. The symmetry of abstract design with special reference to ceramic decoration. Contribution n.47, Carnegie Institution of Washington Publication n° 574.

Vianna, Marlos. 2008. Symmetry studies: An introduction to the study of structured data in applications. Cambridge. Cambridge University Press.

Washburn, Dorothy y Donald Crowe. 1988. Symmetries of culture: Theory and practice of plane pattern analysis. Seattle y Londres, University of Washington Press.

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Notas:

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Simetrías – Hileras – p1a1 (step)

billyr — Fri, 07 Nov 2008 00:18:11 +0000

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Patrón p1a1 - Hacer click para ver animación de movimiento

La única simetría que se presenta en esta clase (aparte de la traslación) es el espejado con deslizamiento a lo largo de la banda horizontal del diseño. No hay espejado vertical ni medios giros. Suele aparecer en muchísimos contextos culturales, especialmente en piezas de cerámica incisa.

En cuanto al nombre del patrón, en la nomenclatura cristalográfica que he seguido en estas páginas se utiliza una notación de cuatro símbolos, denotados pxyz.

Todos los patrones comienzan con “p”.

Esta simetría es por ende, “1g” en esta nomenclatura. Es además “step”, ^x o ∞x en la notación de orbifold propuesta por Conway, F_1¹ en la de Féjes Toth, r1g en la de Getz y “TG” en la de George Pólya. En términos de orbifold, el grupo se obtiene mediante glide reflection solamente, siendo la reflexión un efecto que se obtiene combinando dos de esos espejados; en consecuencia es generado por una sola operación e isomorfo a Z, el grupo de los enteros.

En la siguiente galería se pueden observar diversas instancias de este patrón.

	→Ver además las páginas de galerías: p111 – p1m1 – pm11 – p112 – pma2 – pmm2 → Volver a página de simetrías

Referencias bibliográficas:

Bérczi, Sz. 2000. “Katachi U Symmetry in the Ornamental Art of the Last Thousands Years of Eurasia”. FORMA, 15/1. 11-28. Tokyo (ISSN 0911-6036).

Brainerd, George. 1942. “Symmetry in primitive conventional design”. American Antiquity, 8(2): 164-166.

Crowe, Donald. 2001. “Symmetries of culture”. Visual Mathematics, 3(2), http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/crowe1/index.html

Fejes Tóth, L. 1964. Regular figures. Nueva York, MacMillan.

Fiadone, Alejandro Eduardo. 2003. El diseño indígena argentino: Una aproximación estética a la iconografía precolombina. Buenos Aires, La Marca Editora.

Gerdes, Paulus. 2008. Mwani color inversion, symmetry and cycle matrices. Visual Mathematics, http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/gerdesmwani/mwani.htm

Horne, Clare. 2002. Geometric symmetry in patterns and tilings. Boca Raton, CRC Press.

Jablan, Slavik. 1995. Theory of symmetry and ornament. Belgrado, Instituto de Matemáticas.

Lekka, Lila y Sofia Dascapoulos. 2008. “Motifs and symmetry characteristics of the ornamentation on traditional Greek woven textiles from the area of the Aegean”. Fibres & Textiles in Eastern Europe, 16(3): 74-78.

Montes, Ana Elsa. 1998. “Diseños de la cultura La Aguada”. En: Alberto Rex González, Cultura La Aguada: Arqueología y diseños. Buenos Aires, Filmediciones Valero.

Phillips, Tony. 2008. “Inside-out frieze symmetries in ancient peruvian weaving”. American Mathematical Society, Feature Column, https://jpbm.org/featurecolumn/archive/weaving.html

Senechal, Marjorie. 1975. “Point groups and color symmetry”. Zeitschrift für Kristallographie 142: 1-23.

Shepard, Anna. 1948. The symmetry of abstract design with special reference to ceramic decoration. Contribution n.47, Carnegie Institution of Washington Publication n° 574.

Vianna, Marlos. 2008. Symmetry studies: An introduction to the study of structured data in applications. Cambridge. Cambridge University Press.

Washburn, Dorothy y Donald Crowe. 1988. Symmetries of culture: Theory and practice of plane pattern analysis. Seattle y Londres, University of Washington Press.

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Simetrías – Hileras – p1m1 (jump)

billyr — Wed, 05 Nov 2008 23:06:12 +0000

F11 – Full screen

Patrón en hilera p1m1

El movimiento característico es el espejado horizontal sobre un eje central. Debe tenerse extremo cuidado al diagnosticar este patrón: si los motivos a ambos lados del eje (arriba y abajo) no son estrictamente simétricos, el patrón se reduce a p111.

En cuanto al nombre de este patrón, en la nomenclatura cristalográfica que he seguido en estas páginas se utiliza una notación de cuatro símbolos, denotados pxyz.

Todos los patrones comienzan con “p”.

Esta simetría es por ende, “1m” en esta nomenclatura. Es además “jump”, ^* ó ∞* en la notación de orbifold propuesta por Conway, F_2¹ en la de Féjes Toth, r1m en la de Getz y “TH” en la de George Pólya. En términos de orbifold, el grupo es isomorfo al producto directo Z*C2 y se genera mediante una traslación y la ulterior reflexión sobre el eje horizontal; aunque se produce mediante dos generadores, como involucra también glide reflection se dice que posee tres grados de libertad¹.

En el siguiente repositorio gráfico se puede acceder a la galería haciendo click en cualquier imagen. Para imprimir, bajar o ver en más alta definición, usar botón derecho del mouse.²

	→ Ver además páginas de galerías: p111 – p1a1 – pm11 – p112 – pma2 – pmm2. → Volver a página de simetrías

Referencias bibliográficas

Bérczi, Sz. 2000. “Katachi U Symmetry in the Ornamental Art of the Last Thousands Years of Eurasia”. FORMA, 15/1. 11-28. Tokyo (ISSN 0911-6036).

Brainerd, George. 1942. “Symmetry in primitive conventional design”. American Antiquity, 8(2): 164-166.

Crowe, Donald. 2001. “Symmetries of culture”. Visual Mathematics, 3(2), http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/crowe1/index.html

Fejes Tóth, L. 1964. Regular figures. Nueva York, MacMillan.

Fiadone, Alejandro Eduardo. 2003. El diseño indígena argentino: Una aproximación estética a la iconografía precolombina. Buenos Aires, La Marca Editora.

Gerdes, Paulus. 2008.” Mwani color inversion, symmetry and cycle matrices”. Visual Mathematics, http://www.mi.sanu.ac.yu/vismath/gerdesmwani/mwani.htm